Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與雙曲線$\frac{x^2}{3}$-y²=1的離心率互為倒數(shù)，且直線x-y-2=0經(jīng)過橢圓的右頂點．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)不過原點O的直線l與橢圓C交于M、N兩點，且直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得雙曲線的離心率即可求得橢圓的離心率，由直線方程求得頂點坐標(biāo)，代入即可求得a、b和c的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，求得x₁+x₂，x₁+x₂及y₁•y₂，OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k²，即可求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）∵雙曲線的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，所以橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵直線x-y-2=0經(jīng)過橢圓的右頂點，
∴頂點為（2，0），即a=2…（2分）
∴$c=\sqrt{3}，b=1$，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（k≠0，m≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y并整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0…（5分）
則${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{{m^2}-1}）}}{{1+4{k^2}}}$，
于是${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$…（6分）
又直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，
∴$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}$
∴$-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{1+4{k^2}}}+{m^2}=0$，由m≠0，得${k^2}=\frac{1}{4}$，
∴$k=±\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查橢圓及雙曲線的簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．