Question

5．在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4．設圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=-x+5上，求圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
（3）若圓C上存在點M，使|MA|=|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線l與直線y=-x+5，求出方程組的解得到圓心C坐標，可得圓C的方程；
（2）根據(jù)A坐標設出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；
（3）設M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$…（1分）    得圓心C為（3，2），…（2分）
∵圓C的半徑為，∴圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=1…（4分）
（2）由題意知切線的斜率一定存在，…（5分）（
設所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0…（6分）
∴$\frac{|3k-2+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1…（7分）
∴2k（4k+3）=0
∴k=0或者k=-$\frac{3}{4}$…（8分）
∴所求圓C的切線方程為：y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3，即y=3或者3x+4y-12=0…（9分）
（3）設M為（x，y），由$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$…（11分）
整理得直線m：y=$\frac{3}{2}$…（12分）
∴點M應該既在圓C上又在直線m上，即：圓C和直線m有公共點
∴|2a-4-$\frac{3}{2}$|≤1，∴$\frac{9}{4}$≤a≤$\frac{13}{4}$…（13分）
綜上所述，a的取值范圍為：[$\frac{9}{4}$，$\frac{13}{4}$]…（14分）

點評 此題考查了圓的切線方程，點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點坐標，直線的點斜式方程，兩點間的距離公式，圓的標準方程，是一道綜合性較強的試題．