Question

15．在△ABC中，已知cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，求sin2C．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內(nèi)角和定理消去C，化簡可得B的大�。�
（2）利用換元法，把A換出來，與三角形內(nèi)角和定相結(jié)合，把C表示出來即可求值．

解答 解：（1）由cos C+（cos A-$\sqrt{3}$sin A）cos B=0，
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理消去C，
則cos C+（cos A-$\sqrt{3}$sin A）cos B=-cos（A+B）+（cos A-$\sqrt{3}$sin A）cos B
=-cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB-$\sqrt{3}$sinA cosB
=sinA sinB-$\sqrt{3}$ sinA cosB=0；
由sin A＞0，則有 tanB=$\sqrt{3}$．
∵B∈（0，π），
故得B=$\frac{π}{3}$．
（2）sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，
令A(yù)-$\frac{π}{3}$=t，即sint=$\frac{3}{5}$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{π}{3}＜t＜\frac{π}{3}$，
則A=$t+\frac{π}{3}$，
那么：sin2C=sin2（π-A-B）=sin2（$π-\frac{π}{3}-t-\frac{π}{3}$）=sin（2t+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin2t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2t，
由$-\frac{π}{3}＜t＜\frac{π}{3}$，
∵sint=$\frac{3}{5}$，
∴cost=$\frac{4}{5}$，
sin2t=2sintcost=$\frac{24}{25}$，
cos2t=$co{s}^{2}t-si{n}^{2}t=\frac{7}{25}$
故得sin2C=$\frac{1}{2}×\frac{24}{25}+\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{24+7\sqrt{3}}{50}$

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和二倍角，兩角和與差的公式的靈活運用和化簡計算能力．屬于中檔題．