Question

15．設(shè)平面上一動點P到定點（1，0）的距離與到定直線x=4的距離之比為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求動點的p軌跡c的方程；
（Ⅱ）設(shè)定點a（-2，$\sqrt{3}$），曲線上C一點M（x₀，y₀），其中y₀≥0．若曲線C上存在兩點E，F(xiàn)，使$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AM}$，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x，y），由題意得$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-4|}=\frac{1}{2}$，整理即得軌跡方程．
（Ⅱ）直線EF的斜率存在，設(shè)直線EF方程為：y=kx+m由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，根據(jù)題目條件列式求解．

解答 解：（ I）設(shè)P（x，y），由題意得$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|x-4|}=\frac{1}{2}$，…（2分）
化簡得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，所以，所求軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）AM中點Q（$\frac{{x}_{0}-2}{2}，\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{2}$）
直線EF的斜率存在，設(shè)直線EF方程為：y=kx+m
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
方程有解，則△=48（4k²-m²+3）＞0   （*）
設(shè)E（x₁，y₁）F（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…（6分）
EF中點坐標為N（$-\frac{4km}{3+4{k}^{2}}，\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），由$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AM}$
知Q、N為同一點，所以 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4km}{3+4{k}^{2}}=\frac{{x}_{0}-2}{2}}\\{\frac{3m}{3+4{k}^{2}}=\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$…（8分）
上兩式相比得：$k=-\frac{3}{4}\frac{（{x}_{0}-2）}{4（{y}_{0}+\sqrt{3}）}$…（9分）
由$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}=\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{2}$，得$3+4{k}^{2}=\frac{6m}{{y}_{0}+\sqrt{3}}$代入（*）得：
$0＜m＜\frac{6}{{y}_{0}+\sqrt{3}}$    （**）…（10分）
將k=-$\frac{3}{4}×\frac{3（{x}_{0}-2）}{4（{y}_{0}+\sqrt{3}）}$代入$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}=\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{2}$得：
m=$\frac{{y}_{0}+\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{8}×\frac{（{x}_{0}-2）^{2}}{{y}_{0}+\sqrt{3}}$再代入（**）并結(jié)合$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$
得：2${y}_{0}＜\sqrt{3}（{x}_{0}+1）$ 又y₀≥0，
所以，$\sqrt{12-3{x}_{0}^{2}}＜\sqrt{3}（{x}_{0}+1）$（或2${y}_{0}^{2}＜3（{x}_{0}+1）^{2}$）
所以，${x}_{0}＞\frac{\sqrt{7}-1}{2}，{x}_{0}＜-\frac{\sqrt{7}+1}{2}$（舍去）…（12分）
故x₀的取值范圍為：$\frac{\sqrt{7}-1}{2}＜{x}_{0}≤2$…（13分）

點評 本題主要考查了軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合應用，屬于中檔題型，在高考中經(jīng)�？嫉剑�