Question

11．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC為直徑的球面交PD于M點(diǎn)．
（I）求證：面ABM⊥面PCD；
（II）求點(diǎn)D到平面ACM的距離．

Answer 1

分析 （I）推導(dǎo)出PA⊥AB，AB⊥AD，從而AB⊥PD，由∠BMD=90°，得PD⊥BM，從而PD⊥平面ABM，由此能證明平面ABM⊥平面PCD．
（II）設(shè)h為D到面ACM的距離，由V_M-ACD=V_D-ACM，能求出D到面ACM的距離．

解答 （本小題12分）
證明：（I）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB，…（2分）
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，
∵以AC為直徑的球面交PD于M點(diǎn)，底面ABCD為矩形，
∴由題意得∠BMD=90°，∴PD⊥BM，…（4分）
又∵AB∩BM=B，∴PD⊥平面ABM，
又PD?平面PCD，
∴平面ABM⊥平面PCD．…（6分）（每少一個(gè)條件扣1分）
解：（II）依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，
則AM⊥MC．
又∵PA⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，則CD⊥AM，
∴AM⊥平面PCD，AM⊥PD，
又PA=AD，則M是PD的中點(diǎn)，可得AM=2$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{M{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
S_△AMC=$\frac{1}{2}×AM×CM$=2$\sqrt{6}$，${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}×AD×CD$=4，…（8分）
設(shè)h為D到面ACM的距離，
則由V_M-ACD=V_D-ACM，即$\frac{1}{3}×4×2=\frac{1}{3}×2\sqrt{6}×h$，…（10分）
得h=$\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴D到面ACM的距離為$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．