Question

設(shè)不等式x²+|x|-2≤0的解集為M．
（1）求集合M；
（2）若命題“?x∈M，ax³-3x+1≥0”為真，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）解不等式，求出不等式的解集．
（2）利用全稱命題為真命題，求出實(shí)數(shù)a的范圍．
解答：解：（1）原不等式等價(jià)為（|x|-1）（|x|+2）≤0，即|x|-1≤0，解的-1＜x＜1，所以M=（-1，1）．
（2）因?yàn)?x∈M，所以-1＜x＜1，
若x=0，則1≥0恒成立，
若0＜x≤1，則，，
則設(shè)，
由f'（x）＞0，解得0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由f'（x）＜0，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是最大值為，所以此時(shí)a≥4．
若-1≤x＜0，則，，設(shè)，
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以此時(shí)當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值為，所以此時(shí)a≤4．
所以a=4．
點(diǎn)評：本題主要考查全稱命題的真假判斷和應(yīng)用．