Question

18．已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{3}^{n}-{2}^{n}}{{3}^{n}+{2}^{n}}，n≤2014}\\{\frac{{2}^{n}-{3}^{n}}{{2}^{n}+{3}^{n}}，n≥2015}\end{array}\right.$，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=-1．

Answer 1

分析 分析知$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（\frac{2}{3}）^n-1}{（\frac{2}{3}）^n+1}$．

解答 解：當(dāng)n→∞時(shí)，只需考慮a_n=$\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$（n≥2015），
則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（\frac{2}{3}）^n-1}{（\frac{2}{3}）^n+1}$，
其中，$\underset{lim}{n→∞}$$（\frac{2}{3}）^n$=0，
所以，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（\frac{2}{3}）^n-1}{（\frac{2}{3}）^n+1}$=$\frac{0-1}{0+1}$=-1，
故填：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極限及其運(yùn)算，對(duì)于分段數(shù)列，其極限只需考慮n→∞時(shí)對(duì)應(yīng)的分段，屬于基礎(chǔ)題．