Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e為自然數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，證明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）通過對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，討論f（x）的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的最小值；
（2）根據(jù)條件可得g（a）=a-alna-1≥0，討論g（a）的單調(diào)性即得結(jié)論；
（3）由（2）得e^x≥x+1，即ln（x+1）≤x，通過令x=$\frac{1}{k}$ （k∈N^*），即$\frac{1}{k}$＞ln$\frac{1+k}{k}$=ln（1+k）-lnk，（k=1，2，…，n），然后累加即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=0，解得x=lna，
當(dāng)x＞lna時，f′（x）＞0；當(dāng)x＜lna時，f′（x）＜0，
因此當(dāng)x=lna時，f（x）_min=f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．
（2）因為f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，所以f（x）_min≥0，
由（1）得f（x）_min=a-alna-1，
所以a-alna-1≥0，
令g（a）=a-alna-1，
函數(shù)g（a）的導(dǎo)數(shù)為g′（a）=-lna，
令g′（a）=0，解得a=1．
當(dāng)a＞1時，g′（a）＜0；當(dāng)0＜a＜1時，g′（a）＞0，
所以當(dāng)a=1時，g（a）取得最大值，為0．
所以g（a）=a-alna-1≤0．
又a-alna-1≥0，因此a-alna-1=0，
解得a=1；
（3）由（2）得e^x≥x+1，即ln（x+1）≤x，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，
令x=$\frac{1}{k}$ （k∈N^*），則$\frac{1}{k}$＞ln（1+$\frac{1}{k}$），
即$\frac{1}{k}$＞ln$\frac{1+k}{k}$=ln（1+k）-lnk，（k=1，2，…，n），
累加，得1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）-lnn+lnn-ln（n-1）+…+ln2-ln1，
則有1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞ln（n+1）（n∈N^*）．

點評 本題考查函數(shù)的最值，單調(diào)性，通過對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．