【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的右焦點為,左、右頂點分別為、,上、下頂點分別為,連結(jié)并延長交橢圓于點,連結(jié),,記橢圓的離心率為.

1)若,.

①求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

②求的面積之比.

2)若直線和直線的斜率之積為,求的值.

【答案】1)①. ;(2.

【解析】

1)①設(shè)橢圓的焦距為,根據(jù)題意列出有關(guān)、的方程組,求出的值,可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

②求出直線的方程,將該直線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立,求出點的坐標(biāo),再利用三角形的面積公式可求出的面積之比;

2)先利用截距式得出直線的方程為,將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立,求出點的坐標(biāo),利用斜率公式計算出直線的斜率,然后由這兩條直線的斜率之積為,得出關(guān)于、的齊次方程,由此可解出橢圓的離心率的值.

1)①設(shè)橢圓的焦距為,由題意,得,解得,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

②由①知,,,,

所以直線的方程為

將其代入橢圓的方程,得,即,

所以,所以點的坐標(biāo)為.

從而的面積之比:;

2)因為、在直線上,所以直線的方程為.

解方程組,得,

所以點的坐標(biāo)為.

因為直線的斜率,

直線的斜率,

又因為直線和直線的斜率之積為,

所以,

,化簡得,,解得.

因此,橢圓的離心率為.

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組號

分組

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