Question

5．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2cos²$\frac{x}{2}$．
（1）求的最小正周期和在$[\frac{π}{6}，π]$上單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△A BC中，角 A，B，C的對邊分別是a，b，c，且若f（ B）=3，b=3，求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得解析式f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，利用周期公式可得最小正周期，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，從而得解在$[\frac{π}{6}，π]$上單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由f（ B）=3，解得：sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合范圍B∈（0，π），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求B，由余弦定理可得：9=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，由基本不等式可得9≥ac，從而解得a+c≤6，由兩邊之和大于第三邊可得a+c＞b=3，從而可得a+c的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2cos²$\frac{x}{2}$=$\sqrt{3}$sinx+1+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$．
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kπ$+\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z，
∴在$[\frac{π}{6}，π]$上單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{π}{3}$，π]．
（2）∵f（ B）=3，即：2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1=3，解得：sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，
∵B∈（0，π），B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得：B=$\frac{π}{3}$，
∵b=3，
∴由余弦定理可得：9=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∵由a²+c²≥2ac，可得：9≥ac，可得：（a+c）²=9+3ac≤36，解得：a+c≤6．
又∵a+c＞b=3，
∴解得：3＜a+c≤6．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理，基本不等式的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．