Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且$\frac{2b-c}{a}=\frac{cosC}{cosA}$
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，求b²+c²的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，結(jié)合和角的正弦公式，即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可得：b²+c²=3+bc，結(jié)合基本不等式可得3≥bc，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{2b-c}{a}=\frac{cosC}{cosA}$，
利用正弦定理可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
化為2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵a=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：3=b²+c²-2bccosA=3=b²+c²-bc，可得：b²+c²=3+bc，
又∵b²+c²≥2bc，可得3+bc≥2bc，解得：3≥bc，
∴b²+c²=3+bc≤3+3=6，即b²+c²的最大值是6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理，和角的正弦公式，余弦定理，基本不等式的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．