Question

14．已知實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，求3x²+2y²+2z²的最小值．

Answer 1

分析 利用已知條件x+y+z=1結(jié)合柯西不等式，求解3x²+2y²+2z²的最小值．

解答 解：由柯西不等式，${（x+y+z）^2}≤[{{{（\sqrt{3}x）}^2}+{{（\sqrt{2}y）}^2}+{{（\sqrt{2}z）}^2}}]•[{{{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}）}^2}+{{（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）}^2}+{{（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）}^2}}]$，
因為x+y+z=1，所以$3{x^2}+2{y^2}+2{z^2}≥\frac{3}{4}$，
當且僅當$\frac{{\sqrt{3}x}}{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}}}=\frac{{\sqrt{2}y}}{{\frac{1}{{\sqrt{2}}}}}=\frac{{\sqrt{2}z}}{{\frac{1}{{\sqrt{2}}}}}$，即$x=\frac{1}{4}，y=\frac{3}{8}，z=\frac{3}{8}$時，等號成立，
所以3x²+2y²+2z²的最小值為$\frac{3}{4}$…（10分）．

點評 本題考查柯西不等式在最值中的應用，考查計算能力．