Question

19．已知圓C的方程為x²+y²=4．
（1）求過點P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（3）圓C上有一動點M（x₀，y₀），$\overrightarrow{ON}$=（0，y₀），若向量$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，求動點Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析 （1）顯然直線l的斜率存在，設切線方程為y-2=k（x-1），利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過點P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）分類討論：①當直線l垂直于x軸時；②若直線l不垂直于x軸．對于②，設其方程為y-2=k（x-1），結合直線與圓的位置關系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
（3）設點M的坐標為（x₀，y₀）（y₀≠0），Q點坐標為（x，y），利用向量的坐標運算表示出M的坐標，再利用M點在圓上其坐標適合方程即可求得動點Q的軌跡方程，最后利用方程的形式進行判斷是什么曲線即可．

解答 解：（1）顯然直線l的斜率存在，設切線方程為y-2=k（x-1），
則由$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，得k₁=0，k₂=-$\frac{4}{3}$，從而所求的切線方程為y=2和4x+3y-10=0．
（2）當直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x=1，l與圓的兩個交點坐標為（1，$\sqrt{3}$）和（1，-$\sqrt{3}$），這兩點的距離為2$\sqrt{3}$，滿足題意；當直線l不垂直于x軸時，設其方程為y-2=k（x-1），
即kx-y-k+2=0，設圓心到此直線的距離為d（d＞0），則2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-3b1rzwn^{2}}$，
得d=1，從而1=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，得k=$\frac{3}{4}$，此時直線方程為3x-4y+5=0，
綜上所述，所求直線方程為3x-4y+5=0或x=1．
（3）設Q點的坐標為（x，y），M點坐標是（x₀，y₀），$\overline{ON}$=（0，y₀），
∵$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，∴（x，y）=（x₀，2y₀）⇒x=x₀，y=2y₀．
∵x₀²+y₀²=4，∴x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
∴Q點的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，軌跡是一個焦點在y軸上的橢圓．

點評 本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應用、軌跡方程的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．