Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）當x∈[0，+∞）時，函數(shù)y=f（x）圖象上的點都在$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y-x≤0\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）求證：$（1+\frac{2}{2×3}）（1+\frac{4}{3×5}）…[1+\frac{2^n}{{（{2^{n-1}}+1）（{2^n}+1）}}]＜e$，（其中n∈N^*，e是自然對數(shù)的底）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件轉化為不等式f（x）≤x恒成立即可求實數(shù)a的取值范圍．
（2）根據(jù)條件求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可證明不等式．

解答 解：（1）因函數(shù)f（x）圖象上的點都在$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y-x≤0\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內，
則當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，
即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，、
設g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），
只需g（x）_max≤0即可．
由$g'（x）=2ax+\frac{1}{x+1}-1$=$\frac{x[2ax+（2a-1）]}{x+1}$，
（i） 當a=0時，$g'（x）=\frac{-x}{x+1}$，
當x＞0時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調遞減，
故g（x）≤g（0）=0成立．
（ii） 當a＞0時，由$g'（x）=\frac{x[2ax+（2a-1）]}{x+1}=0$，
因x∈[0，+∞），所以$x=\frac{1}{2a}-1$，
①若$\frac{1}{2a}-1＜0$，即$a＞\frac{1}{2}$時，在區(qū)間（0，+∞）上，g'（x）＞0，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
g（x）在[0，+∞）上無最大值，
當x→+∞時，g（x）→+∞，此時不滿足條件；（10分）
②若$\frac{1}{2a}-1≥0$，即$0＜a≤\frac{1}{2}$時，函數(shù)g（x）在$（0，\frac{1}{2a}-1）$上單調遞減，
在區(qū)間$（\frac{1}{2a}-1，+∞）$上單調遞增，
同樣g（x）在[0，+∞）上無最大值，當x→+∞時，g（x）→+∞，不滿足條件．（11分）
（iii） 當a＜0時，由$g'（x）=\frac{x[2ax+（2a-1）]}{x+1}$，
∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調遞減，
故g（x）≤g（0）=0成立．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．
（2）據(jù)（2）知當a=0時，ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立
（或另證ln（x+1）＜x在區(qū)間（0，+∞）上恒成立），
又$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$），（15分）
因此ln{（1+$\frac{2}{2×3}$）（1+$\frac{4}{3×5}$）（1+$\frac{8}{5×9}$）…[1+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$]}
=ln（1+$\frac{2}{2×3}$）+ln（1+$\frac{4}{3×5}$）+ln（1+$\frac{8}{5×9}$）+…+ln[1+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$]
＜$\frac{2}{2×3}$$+\frac{4}{3×5}$+$\frac{8}{5×9}$+…+ln[1+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$]
=2（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）
=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$）＜1，
∴$（1+\frac{2}{2×3}）（1+\frac{4}{3×5}）…[1+\frac{2^n}{{（{2^{n-1}}+1）（{2^n}+1）}}]＜e$成立．

點評 本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．