Question

15．某數(shù)學(xué)老師對(duì)所任教的兩個(gè)班級(jí)各抽取30名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，分?jǐn)?shù)分布如表：

分?jǐn)?shù)區(qū)間	4	5
[0，30）	0.1	0.2
[30，60）	0.2	0.2
[60，90）	0.3	0.4
[90，120）	0.2	0.1
[120，150]	0.2	0.1

（1）若成績(jī)120分以上為優(yōu)秀，求從乙班參加測(cè)試的成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生中，隨機(jī)任取2名學(xué)生，恰有1人為優(yōu)秀的概率；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，則犯錯(cuò)概率小于0.1的前提下，是否有足夠的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與否和班級(jí)有關(guān)？

	優(yōu)秀	不優(yōu)秀	總計(jì)
甲班	6	24	30
乙班	3	27	30
總計(jì)	9	51	60

參考公式：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
下面的臨界值供參考：

k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001

Answer 1

分析 （1）乙班參加測(cè)試的成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有6人，記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中成績(jī)優(yōu)秀的有3人，記為A，B，C，由此利用列舉法能求出隨機(jī)任取2名學(xué)生，恰有1人為優(yōu)秀的概率．
（2）由題意，甲班有6人成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，乙班有3人成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，求出2×2列聯(lián)表和K²≈1.176＜2.706．從而得到在犯錯(cuò)概率小于0.1的前提下，沒(méi)有足夠的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與否和班級(jí)有關(guān)．

解答 解：（1）乙班參加測(cè)試的成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有6人，
記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中成績(jī)優(yōu)秀的有3人，記為A，B，C，
從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名的基本事件有：
$\begin{array}{l}\{A，B\}，\{A，C\}，\{A，D\}，\{A，E\}，\{A，F(xiàn)\}，\{B，C\}，\{B，D\}，\{B，E\}，\{B，F(xiàn)\}，\{C，D\}，\{C，E\}，\\ \{C，F(xiàn)\}，\{D，E\}，\{D，F(xiàn)\}，\{E，F(xiàn)\}\end{array}$
共15個(gè)．
設(shè)事件G表示恰有1人為優(yōu)秀，
則G包含的事件有{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，
共9個(gè)．
所以隨機(jī)任取2名學(xué)生，恰有1人為優(yōu)秀的概率$P（G）=\frac{3}{5}$．
（2）由題意，甲班有6人成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，乙班有3人成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，2×2列聯(lián)表如下：

	優(yōu)秀	不優(yōu)秀	總計(jì)
甲班	6	24	30
乙班	3	27	30
總計(jì)	9	51	60

∴${K^2}=\frac{{n{{（ac-bd）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}≈1.176＜2.706$．
在犯錯(cuò)概率小于0.1的前提下，沒(méi)有足夠的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與否和班級(jí)有關(guān)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．