Question

7．已知⊙O的半徑為2，A為圓上的一個定點(diǎn)，B為圓上的一個動點(diǎn)，若點(diǎn)A，B，O不共線，且|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AO}$|≥|$\overrightarrow{BO}$|對任意t∈R恒成立，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)向量的減法的運(yùn)算法則將向量進(jìn)行化簡，然后兩邊平方，設(shè)$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=m，整理可得4t²-2tm-（4-2m）≥0恒成立，再由不等式恒成立思想，運(yùn)用判別式小于等于0，解不等式即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AO}$|≥|$\overrightarrow{BO}$|，
∴|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AO}$|≥|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{AB}$|，
兩邊平方可得：
$\overrightarrow{AB}$²-2t$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$+t²$\overrightarrow{AO}$²≥$\overrightarrow{AO}$²-2$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}$²，
設(shè)$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=m，則有：4t²-2tm-（4-2m）≥0恒成立，
則有判別式△=4m²+16（4-2m）≤0，
即m²-8m+16≤0，
化簡可得（m-4）²≤0，即m=4，
即有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AO}$=4，
故選：B

點(diǎn)評 本題考查平面向量的運(yùn)用，考查平方法的運(yùn)用，考查向量的平方即為模的平方，考查二次不等式恒成立的求法，注意運(yùn)用判別式小于等于0，考查運(yùn)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．