Question

14．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x），當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}-1，-1＜x≤0}\\{{x}^{2}-3x+2，0＜x≤1}\end{array}\right.$，且g（x+2）=g（x）對(duì)?x∈R恒成立，若函數(shù)f（x）=g（x）-m（x+1）在區(qū)間[-1，5]內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$）
• B． （-∞，$\frac{2}{5}$]∪（$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． [$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$）
• D． [$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=g（x）-m（x+1）在區(qū)間[-1，5]內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，則y=g（x）與y=m（x+1）的圖象在區(qū)間[-1，5]內(nèi)有6個(gè)交點(diǎn)．畫(huà)出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：∵g（x+2）=g（x）對(duì)?x∈R恒成立，
∴函數(shù)g（x）的周期為2．
又∵當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}-1，-1＜x≤0}\\{{x}^{2}-3x+2，0＜x≤1}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)g（x）的圖象如下圖所示：

令函數(shù)f（x）=g（x）-m（x+1）=0，
則g（x）=m（x+1），
若函數(shù)f（x）=g（x）-m（x+1）在區(qū)間[-1，5]內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，
則y=g（x）與y=m（x+1）的圖象在區(qū)間[-1，5]內(nèi)有6個(gè)交點(diǎn)．
∵y=m（x+1）恒過(guò)點(diǎn)（-1，0），
過(guò)（-1，0），（4，2）點(diǎn)的直線斜率為$\frac{2}{5}$，
過(guò)（-1，0），（2，2）點(diǎn)的直線斜率為$\frac{2}{3}$，
根據(jù)圖象可得：x∈[$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{3}$），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．