Question

9．已知x，y，z滿足方程（x-3）²+（y-4）²+（z+5）²=2，則x²+y²+z²的最小值是32．

Answer 1

分析 將方程（x-3）²+（y-4）²+（z+5）²=2看成動點(diǎn)P（x，y，z）到定點(diǎn)Q（3，4，-5）的距離為$\sqrt{2}$是解決本題的關(guān)鍵，再結(jié)合幾何意義求最值．

解答 解：根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式，方程（x-3）²+（y-4）²+（z+5）²=2
可以看成空間直角坐標(biāo)系中的動點(diǎn)P（x，y，z）到定點(diǎn)Q（3，4，-5）的距離為定值$\sqrt{2}$，
因此，動點(diǎn)P在以Q為球心，以半徑r=$\sqrt{2}$的球面上，
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OQ|=$\sqrt{3^2+4^2+5^2}$=5$\sqrt{2}$，
而x²+y²+z²表示的是：動點(diǎn)P（x，y，z）到原點(diǎn)O距離的平方，
根據(jù)幾何關(guān)系，|OP|_min=|OQ|-r=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
所以，（x²+y²+z²）_min=（4$\sqrt{2}$）²=32．
故填：32．

點(diǎn)評 本題主要考查了空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，運(yùn)用集合思想與數(shù)形結(jié)合的方法得出動點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系求出表達(dá)式的最小值，屬于中檔題．