Question

15．方程x²+2x-1=0的解可視為函數(shù)y=x+2的圖象與函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若方程x⁴+ax-4=0的各個(gè)實(shí)根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)$（{x_i}，\frac{4}{x_i}）$（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-6）∪（6，+∞）．

Answer 1

分析 原方程等價(jià)于x³+a=$\frac{4}{x}$，分別作出y=x³+a與y=$\frac{4}{x}$的圖象：分a＞0與a＜0討論，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：方程的根顯然x≠0，原方程x⁴+ax-4=0，等價(jià)為方程x³+a=$\frac{4}{x}$，
原方程的實(shí)根是曲線y=x³+a與曲線y=$\frac{4}{x}$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
曲線y=x³+a是由曲線y=x³向上或向下平移|a|個(gè)單位而得到的．
若交點(diǎn)（x_i，$\frac{4}{{x}_{i}}$）（i=1，2，k）均在直線y=x的同側(cè)，因直線y=x與y=$\frac{4}{x}$交點(diǎn)為：（-2，-2），（2，2）；

所以結(jié)合圖象可得：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{x}^{3}+a＞-2}\\{x≥-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{x}^{3}+a＜2}\\{x≤2}\end{array}\right.$，
解得a＞6或a＜-6，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-6）∪（6，∞），
故答案為：（-∞，-6）∪（6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．