定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),當x<0時,f(x)>0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有( 。
A、最小值f(a)
B、最大值f(b)
C、最小值f(b)
D、最大值f(
a+b
2
考點:抽象函數(shù)及其應用,對數(shù)的運算性質(zhì)
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析:先研究函數(shù)的奇偶性,可以先令x=y=0求得f(0)的值,再令y=-x,代入原式,可得奇偶性;再結(jié)合單調(diào)性的定義判斷單調(diào)性,最后判斷函數(shù)在[a,b]上的最值情況.
解答: 解:令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0;
再令y=-x,代入原式得f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),故該函數(shù)為奇函數(shù)且圖象過原點;
由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(x+y)-f(x)=f(y),
令x1<x2,再令x1=x+y,x2=x,則y=x1-x2<0,結(jié)合x<0時,f(x)>0,
所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0,所以f(x1)>f(x2),
所以原函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)在[a,b]上遞減,
故f(b)是最小值,f(a)是最大值.
故選C.
點評:本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求最值的方法.
練習冊系列答案
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1
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5
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