Question

11．己知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，且當(dāng)n∈N^*時(shí)，有a_n+1+1=a₁a₂…a_n．若正整數(shù)m滿足a₁a₂…a_m+2016=${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+…+${a}_{m}^{2}$，則m=2011．

Answer 1

分析 易判斷a_n＞0恒成立；從而可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n²=a_n+1-a_n+1；從而化簡(jiǎn)${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+…+${a}_{m}^{2}$=9+a_m+1-a₂+m-1，而a₁a₂…a_m=a_m+1+1，從而解得．

解答 解：∵a₁=3，a_n+1+1=a₁a₂…a_n；
∴a_n＞0恒成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1+1=a₁a₂…a_n，a_n+1=a₁a₂…a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=a_n，∴a_n+1+1=a_n²+a_n，
∴a_n²=a_n+1-a_n+1；
∴${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+…+${a}_{m}^{2}$=3²+（a₃-a₂+1）+（a₄-a₃+1）+…+（a_m+1-a_m+1）
=9+a_m+1-a₂+m-1，
而a₂+1=a₁=3，故a₂=2，
故${a}_{1}^{2}$+${a}_{2}^{2}$+…+${a}_{m}^{2}$=a_m+1+m+6，
又∵a₁a₂…a_m=a_m+1+1，
∴a_m+1+1+2016=a_m+1+m+6，
解得，m=2011；
故答案為：2011．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．