Question

3．如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線F₂P與y軸的正半軸交于A點(diǎn)，△APF₁的內(nèi)切圓在邊PF₁上的切點(diǎn)為Q，若|F₁Q|=4，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{4}$

Answer 1

分析 由△APF₁的內(nèi)切圓在邊PF₁上的切點(diǎn)為Q，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得|PQ|=|F₁M|-|PF₂|，再結(jié)合|F₁Q|=4，求得|PF₁|+|PF₂|=8，即a=4，再由隱含條件求得c，則橢圓的離心率可求．

解答 解：如圖，△APF₁的內(nèi)切圓在邊PF₁上的切點(diǎn)為Q
∴根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得|AM|=|AN|，|F₁M|=|F₁Q|，|PN|=|PQ|
∵|AF₁|=|AF₂|，
∴|AM|+|F₁M|=|AN|+|PN|+|PF₂|，
∴|F₁M|=|PN|+|PF₂|=|PQ|+|PF₂|，
∴|PQ|=|F₁M|-|PF₂|，
則|PF₁|+|PF₂|=|F₁Q|+|PQ|+|PF₂|=|F₁Q|+|F₁M|-|PF₂|+|PF₂|=2|F₁Q|=8，
即2a=8，a=4，
又b²=3，
∴c²=a²-b²=13，則$c=\sqrt{13}$，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率，考查三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查切線長(zhǎng)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．