Question

10．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足條件：
①對(duì)任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；
②函數(shù)f（x+2）的關(guān)于y軸對(duì)稱
③對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）．
則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）
• B． f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
• C． f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
• D． f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，利用函數(shù)對(duì)稱性，周期性和單調(diào)性之間的關(guān)系將函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化比較即可得到結(jié)論．

解答 解：∵對(duì)任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；
∴函數(shù)是4為周期的周期函數(shù)，
∵函數(shù)f（x+2）的關(guān)于y軸對(duì)稱
∴函數(shù)函數(shù)f（x）的關(guān)于x=2對(duì)稱，
∵對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）．
∴此時(shí)函數(shù)在[0，2]上為增函數(shù)，
則函數(shù)在[2，4]上為減函數(shù)，
則f（7）=f（3），
f（6.5）=f（2，5），
f（4.5）=f（0.5）=f（3.5），
則f（3.5）＜f（3）＜f（2.5），
即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．