Question

5．如圖，AC⊥面BCD，BD⊥CD，設(shè)∠ABC=θ₁，∠CBD=θ₂，∠ABD=θ₃，求證：cosθ₃=cosθ₁cosθ₂．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出cosθ₁=$\frac{BC}{AB}$，cosθ₂=$\frac{BD}{BC}$，cosθ₃=$\frac{BD}{AB}$，由此能證明cosθ₃=cosθ₁cosθ₂．

解答 證明：∵AC⊥面BCD，∴AC⊥BC．
又∵BD⊥CD，∴AD⊥BD．
∴△ABC，△BCD，△ABD都為直角三角形．
cosθ₁=$\frac{BC}{AB}$，cosθ₂=$\frac{BD}{BC}$，cosθ₃=$\frac{BD}{AB}$，
∴cosθ₁cosθ₂=$\frac{BC}{AB}$•$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$=cosθ₃，
∴cosθ₃=cosθ₁cosθ₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查cosθ₃=cosθ₁cosθ₂的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．