Question

5．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+mx為偶函數(shù)，g（x）=$\frac{{{4^x}-n}}{2^x}$為奇函數(shù)．
（1）求mn的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+$\frac{x}{2}$，若g（x）＞h（log₄（2a+1））對(duì)任意x≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由g（x）為定義在R上的奇函數(shù)，得g（0）=0，解得n=1；再根據(jù)偶函數(shù)滿(mǎn)足f（-x）=f（x），比較系數(shù)可得m=-$\frac{1}{2}$，由此即可得到mn的值．
（2）由（1）得h（x）=log₄（4^x+1），易得h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2）．而定義在R上的增函數(shù)g（x）在x≥1時(shí)的最小值為g（1）=$\frac{3}{2}$，從而不等式轉(zhuǎn)化成$\frac{3}{2}$＞log₄（2a+2），由此再結(jié)合真數(shù)必須大于0，不難解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由于g（x）為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，
∴g（0）=0，即$\frac{{{4^0}-n}}{2^0}=0⇒n=1$，…（3分）
∵$f（x）={log_4}（{{4^x}+1}）+mx$，
∴$f（{-x}）={log_4}（{{4^{-x}}+1}）-mx={log_4}（{{4^x}+1}）-（{m+1}）x$，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故$m=-\frac{1}{2}$，
綜上所述，可得mn=$-\frac{1}{2}$；…（4分）
（2）∵$h（x）=f（x）+\frac{1}{2}x={log_4}（{{4^x}+1}）$，
∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（2分）
又∵$g（x）=\frac{{{4^x}-1}}{2^x}={2^x}-{2^{-x}}$在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，$g{（x）_{min}}=g（1）=\frac{3}{2}$…（3分）
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}2a+2＜{4^{\frac{3}{2}}}\\ 2a+1＞0\\ 2a+2＞0\end{array}\right.?-\frac{1}{2}＜a＜3$，
因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：$\{a|-\frac{1}{2}＜a＜3\}$．…（3分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及不等式恒成立，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系求出m，n的值，將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)不等式恒成立將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．