Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}m\sqrt{1-{x^2}}，x∈（{-1，1}]\\ 1-|{x-2}|，x∈（{1，3}]\end{array}\right.$，其中m＞0，且函數(shù)f（x）=f（x+4），若方程3f（x）-x=0恰有5個根，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{{\sqrt{15}}}{3}，\sqrt{7}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{15}}}{3}，\frac{8}{3}）$
• C． $（\frac{4}{3}，\sqrt{7}）$
• D． $（\frac{4}{3}，\frac{8}{3}）$

Answer 1

分析 根據(jù)對函數(shù)的解析式進行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時，f（x）的圖象為半個橢圓．根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個實數(shù)解，則需直線y=$\frac{x}{3}$與第二個橢圓相交，而與第三個橢圓不公共點．把直線分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得m的范圍．

解答 解：∵當(dāng)x∈（-1，1]時，將函數(shù)化為方程x²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（y≥0），
∴實質(zhì)上為一個半橢圓，其圖象如圖所示，
∵函數(shù)f（x）=f（x+4），∴函數(shù)的周期是4，
同時在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈（1，3]得圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，
若方程3f（x）-x=0恰有5個根，則等價為f（x）=$\frac{x}{3}$恰有5個根，
由圖易知直線 y=$\frac{x}{3}$與第二個橢圓（x-4）²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（y≥0）相交，
而與第三個半橢圓（x-8）²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1 （y≥0）無公共點時，方程恰有5個實數(shù)解，
將 y=$\frac{x}{3}$代入（x-4）²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，
得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m$＞\frac{\sqrt{15}}{3}$，
同樣由 y=$\frac{x}{3}$與第三個橢圓（x-8）²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1 （y≥0）由△＜0可計算得 m＜$\sqrt{7}$，
綜上可知m∈（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$），
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．