Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c有兩個(gè)零點(diǎn)0和-2，且g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≥g（x）+6x-4；
（3）如果f（x）定義在[m，m+1]，f（x）的最大值為g（m），求g（m）的解析式．

Answer 1

分析 （1）直接將x=0，x=-2代入f（x），求出b，c，即可求出函數(shù)f（x）的解析式，利用f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求出g（x）的解析式；
（2）f（x）≥g（x）+6x-4即x²+2x≥-x²+2x+6x-4，解出即可；
（3）先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，通過(guò)討論m的范圍，從而確定出g（m）的解析式即可．

解答 解：（1）由f（x）=x²+bx+c有兩個(gè)零點(diǎn)0和-2，
即有$\left\{\begin{array}{l}f（0）={0^2}+b×0+c=0\\ f（-2）={（-2）^2}-2b+c=0\end{array}\right.$，
解得b=2，c=0，
即f（x）=x²+2x，
由f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以g（x）=-x²+2x．----------------（3分）
（2）f（x）≥g（x）+6x-4即x²+2x≥-x²+2x+6x-4，
即x²-3x+2≥0得不等式的解為{x|x≥2或x≤1}----------------（5分）
（3）f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，
當(dāng)m+1≤-1，即m≤-2時(shí)，f（x）的最大值g（m）=m²+2m，
當(dāng)m＞-1時(shí)，f（x）的最大值g（m）=（m+1）²+2（m+1）=m²+4m+3，
當(dāng)$-2＜m≤-\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）的最大值g（m）=m²+2m，
當(dāng)$-\frac{3}{2}＜m≤-1$時(shí)，f（x）的最大值g（m）=（m+1）²+2（m+1）=m²+4m+3--------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道中檔題．