Question

20．在直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），M是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{OM}$
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程C₂；
（2）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線$θ=\frac{π}{6}$與曲線C₁、C₂交于不同于極點(diǎn)的A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）首先設(shè)P（x，y），由題意知M與P的關(guān)系，再由M是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，求出點(diǎn)P的參數(shù)方程，即：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+4cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.$   （α為參數(shù)），從而得到C₂的軌跡方程為：（x-4）²+y²=16．
（2）為了求出線段AB的長(zhǎng)度，首先把把曲線C₁的方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ，再把曲線C₂方程轉(zhuǎn)化為的極坐標(biāo)方程為：ρ=8cosθ，最后利用射線$θ=\frac{π}{6}$與C₁的交點(diǎn)A的極徑為${ρ}_{1}=4cos\frac{π}{6}$，射線$θ=\frac{π}{6}$與C₂的交點(diǎn)B的極徑為．${ρ}_{2}=8cos\frac{π}{6}$，最終求出線段AB的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），由題意知M（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$），M是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，
所以：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=2+2cosα}\\{\frac{y}{2}=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+4cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.$   （α為參數(shù)），
從而C₂的軌跡方程為：（x-4）²+y²=16．
（2）依題意把曲線C₁的方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ，
曲線C₂方程轉(zhuǎn)化為的極坐標(biāo)方程為：ρ=8cosθ，
射線$θ=\frac{π}{6}$與C₁的交點(diǎn)A的極徑為${ρ}_{1}=4cos\frac{π}{6}$，
射線$θ=\frac{π}{6}$與C₂的交點(diǎn)B的極徑為．${ρ}_{2}=8cos\frac{π}{6}$，
所以：|AB|=|ρ₁-ρ₂|=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)，參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，利用極徑求線段的長(zhǎng)度，屬于基礎(chǔ)題型．