Question

12．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合．圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=a+acosθ\\ y=asinθ\end{array}$（θ為參數(shù)，0＜a＜5），直線l：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若M，N為曲線C上的兩點(diǎn)，且∠MON=$\frac{π}{3}$，求|OM|+|ON|的最小值．

Answer 1

分析 （ I）由$\left\{\begin{array}{l}x=a+acosθ\\ y=asinθ\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x-a=acosθ\\ y=asinθ\end{array}\right.$，利用cos²θ+sin²θ=1可得普通方程．由$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}=2\sqrt{2}$，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直線l的普通方程．可得圓心到直線的距離d，利用弦長(zhǎng)公式|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-w5zyfe7^{2}}$即可解出a．
（Ⅱ）由（ I）得，圓C的普通方程為（x-2）²+y²=4．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．依題意，設(shè)$M（{ρ_1}，{θ_1}），N（{ρ_2}，{θ_1}+\frac{π}{3}）（{θ_1}∈（{0，2π}））$，即可得出．

解答 解：（ I）由$\left\{\begin{array}{l}x=a+acosθ\\ y=asinθ\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x-a=acosθ\\ y=asinθ\end{array}\right.$，
∴圓C的普通方程為（x-a）²+y²=a²．可得圓心為（a，0），半徑r=a．
∵$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}=2\sqrt{2}$，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直線l的普通方程為x+y-4=0．
∵圓心到直線的距離$d=\frac{{|{a-4}|}}{{\sqrt{2}}}$，∴$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{2}$，即${a^2}-\frac{{{{（{a-4}）}^2}}}{2}=2$，得a=2，或a=6，
∵0＜a＜5，∴a=2．
（Ⅱ）由（ I）得，圓C的普通方程為（x-2）²+y²=4．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得（ρcosθ-2）²+（ρsinθ）²=4，
化簡(jiǎn)，得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
依題意，設(shè)$M（{ρ_1}，{θ_1}），N（{ρ_2}，{θ_1}+\frac{π}{3}）（{θ_1}∈（{0，2π}））$，
∴$|{OM}|+|{ON}|={ρ_1}+{ρ_2}=4cos{θ_1}+4cos（{{θ_1}+\frac{π}{3}}）=6cos{θ_1}-2\sqrt{3}sin{θ_1}=4\sqrt{3}cos（{θ_1}+\frac{π}{6}）$，
∵θ₁∈（0，2π）∴|OM|+|ON|的最小值為4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)變換、圓的參數(shù)方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、和差公式、直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．