Question

9．已知等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，0，1），B（-1，0，1），且它的第三個(gè)頂點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 討論點(diǎn)C分別在x軸、y軸和z軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)C在x軸上時(shí)，設(shè)為（x，0，0），
∵|AB|=$\sqrt{{（-1-1）}^{2}{+（0-0）}^{2}{+（0-0）}^{2}}$=2，
∴|AC|=|BC|=2，
即（x-1）²+1=（x+1）²+1=4，此時(shí)x的值不存在；
當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí)，設(shè)為（0，y，0），
∵|AB|=2，
∴|AC|=|BC|=2，
即1+y²+1=1+y²+1=4，
解得y=±$\sqrt{2}$，
∴C（0，$\sqrt{2}$，0）或（0，-$\sqrt{2}$，0）；
當(dāng)點(diǎn)C在z軸上時(shí)，設(shè)為（0，0，z），
∵|AB|=2，
∴|AC|=|BC|=2，
即1+（z-1）²=（z-1）²+1=4，
解得z=1±$\sqrt{3}$，
∴C（0，0，1+$\sqrt{3}$）或（0，0，1-$\sqrt{3}$）；
綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{2}$，0）或（0，-$\sqrt{2}$，0）或（0，0，1+$\sqrt{3}$）或（0，0，1-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．