Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=|x|-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$+1，
（1）證明：函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）解不等式f（x）＞f（2x-1）．

Answer 1

分析 （1）x≥0時(shí)，得到f（x）=$x-\frac{1}{1+{x}^{2}}+1$，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂≥0，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，證明f（x₁）＞f（x₂），從而得出f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）容易判斷f（x）為偶函數(shù)，從而由f（x）＞f（2x-1）便可得到f（|x|）＞f（|2x-1|），由（1）便可得出|x|＞|2x-1|，對該不等式兩邊平方便可得出該不等式的解集，即得出原不等式的解集．

解答 解：（1）證明：x≥0時(shí)，$f（x）=x-\frac{1}{1+{x}^{2}}+1$；
設(shè)x₁＞x₂≥0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-\frac{1}{1+{{x}_{1}}^{2}}-{x}_{2}+\frac{1}{1+{{x}_{2}}^{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[1+\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}]$；
∵x₁＞x₂≥0；
∴x₁-x₂＞0，x₁+x₂＞0，$1+\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{（1+{x}_{1}）^{2}（1+{{x}_{2}}^{2}）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）f（x）定義域?yàn)镽，且f（-x）=f（x）；
∴f（x）為偶函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴由f（x）＞f（2x-1）得：f（|x|）＞f（|2x-1|）；
∴|x|＞|2x-1|；
解得$\frac{1}{3}＜x＜1$；
∴原不等式的解集為（$\frac{1}{3}，1$）．

點(diǎn)評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂，偶函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，以及絕對值不等式的解法．