Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有兩個公共點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當-2＜a＜-1時，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，e²）（其中m＞0）上恒有一個零點，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$的定義域，再求導f′（x）=$\frac{1-lnx-a}{{x}^{2}}$；從而由導數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間及極值；
（2）由（1）知，分e^1-a＜e²與e^1-a≥e²討論函數(shù)的單調性及取值，從而求實數(shù)a的取值范圍；
（3）由（2）知，當-2＜a＜-1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，e²）上單調遞增，結合f（e²）=$\frac{a+2}{{e}^{2}}$＞0得f（m）=$\frac{lnm+a}{m}$＜0；從而解得．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1-lnx-a}{{x}^{2}}$；
令f′（x）=$\frac{1-lnx-a}{{x}^{2}}$=0得，x=e^1-a；
故f（x）在（0，e^1-a）上是增函數(shù)，在（e^1-a，+∞）上是減函數(shù)；
故f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1；無極小值．
（2）（i）當e^1-a＜e²，即a＞-1時，
f（x）在（0，e^1-a）上是增函數(shù)，在（e^1-a，e²]上是減函數(shù)；
f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1；f（e^-a）=0，f（e²）=$\frac{a+2}{{e}^{2}}$；
故$\frac{a+2}{{e}^{2}}$≤1＜e^a-1；
故1＜a≤e²-2；
（ii）當e^1-a≥e²，即a≤-1時，
f（x）在（0，e²]上是增函數(shù)；
故函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上至多有一個公共點，故不滿足；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（1，e²-2]；
（3）由（2）知，當-2＜a＜-1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，e²）上單調遞增；
又f（e²）=$\frac{a+2}{{e}^{2}}$＞0，
故f（m）=$\frac{lnm+a}{m}$＜0；
即lnm＜-a對-2＜a＜-1恒成立；
故lnm≤1；
故m≤e，
即m的最大值為e．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及學生的化簡運算能力，同時考查了分類討論及恒成立問題，屬于難題．