Question

3．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且a_n+1=2a_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對任意n∈N⁺，都有$\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{2^2}+…+\frac{C_n}{2^n}$=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+1，變形為a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴${a_n}={2^n}-1$．
（2）∵${a_{n+1}}={2^{n+1}}-1$，$\frac{c_1}{2}+\frac{c_2}{2^2}+…\frac{c_n}{2^n}={2^{n+1}}-1$對n∈N^*都成立，當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{c}_{1}}{2}$=3，即c₁=6．
當(dāng)n≥2時(shí)，由$\frac{c_1}{2}+\frac{c_2}{2^2}+…\frac{c_n}{2^n}={2^{n+1}}-1$，①
及$\frac{c_1}{2}+\frac{c_2}{2^2}+…\frac{{{c_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}={2^n}-1$，②
①-②得$\frac{c_n}{2^n}={2^n}$，得${c_n}={4^n}$．
∴${c_n}=\left\{\begin{array}{l}6（n=1）\\{4^n}（n≥2）\end{array}\right.$．
∴${c_1}+{c_2}+…+{c_{2016}}=6+{4^2}+{4^3}+…+{4^{2016}}=6+\frac{{{4^2}（{1-{4^{2015}}}）}}{1-4}=\frac{{2+{4^{2017}}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．