Question

16．如圖，已知點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），M是線段AB上的任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是兩個(gè)正方形的外接圓，它們交于點(diǎn)M，N．
（1）證明：直線MN恒過一定點(diǎn)S，并求S的坐標(biāo)；
（2）過A作⊙Q的割線，交⊙Q于G、H兩點(diǎn)，求|AH|•|AG|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，寫出⊙P與⊙Q的方程，利用兩圓的方程作差，得出公共弦MN所在的直線方程，從而求出直線MN恒過的定點(diǎn)S；
（2）過點(diǎn)Q作QT⊥GH于T，根據(jù)垂徑定理與切割線定理，即可求出|AH|•|AG|的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)M（m，0），其中m∈（-3，3），
則C（m，m+3），F(xiàn)（m，3-m），P（$\frac{m-3}{2}$，$\frac{m+3}{2}$），Q（$\frac{3+m}{2}$，$\frac{3-m}{2}$）；
易知⊙P的方程為：${（x-\frac{m-3}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{m+3}{2}）}^{2}$=$\frac{{（m+3）}^{2}}{2}$，
即x²+y²-（m-3）x-（m+3）y-3m=0；①
⊙Q的方程為：${（x-\frac{3+m}{2}）}^{2}$+${（y-\frac{3-m}{2}）}^{2}$=$\frac{{（3-m）}^{2}}{2}$，
即x²+y²-（3+m）x-（3-m）y+3m=0；②
①-②得，公共弦MN所在的直線方程為6x-2my-6m=0，
整理得3x-m（3+y）=0，所以MN恒過定點(diǎn)S（0，-3）；
（2）過點(diǎn)Q作QT⊥GH于T，則|TH|=|TG|，
從而|AH|•|AG|=（|AT|-|TH|）•（|AT|+|TG|）=|AT|²-|TH|²
=（|AQ|²-|QT|²）-（|HQ|²-|QT|²）=|AQ|²-|HQ|²
=${（\frac{3+m}{2}+3）}^{2}$+${（\frac{3-m}{2}）}^{2}$-$\frac{{（3-m）}^{2}}{2}$
=6m+18；
由于m∈（-3，3），|AH|•|AG|∈（0，36），
即|AH|•|AG|的取值范圍是（0，36）．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了直線恒過的定點(diǎn)的應(yīng)用問題以及垂徑定理與切割線定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．