Question

17．若點(diǎn)M（0，3）與橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}$=1（a＞2）上任意一點(diǎn)P距離的最大值不超過(guò)2$\sqrt{7}$，則a的取值范圍是（2，4]．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}$=1（a＞2）上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（acosα，2sinα），（0≤α＜2π），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合同角的平方關(guān)系和二次函數(shù)的最值的求法，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到所求最大值．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}$=1上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為
（acosα，2sinα），（0≤α＜2π），
即有|PM|=$\sqrt{（acosα）^{2}+（2sinα-3）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α-12sinα+9}$
=$\sqrt{-（{a}^{2}-4）si{n}^{2}α-12sinα+{a}^{2}+9}$
=$\sqrt{-（{a}^{2}-4）（sinα+\frac{6}{{a}^{2}-4}）^{2}+{a}^{2}+9+\frac{36}{{a}^{2}-4}}$，
由于sinα=t（-1≤t≤1），
當(dāng)-$\frac{6}{{a}^{2}-4}$≤-1，即2＜a≤$\sqrt{10}$時(shí)，
sinα=-1時(shí)取得最大值，且為5＜2$\sqrt{7}$，成立；
當(dāng)-1＜-$\frac{6}{{a}^{2}-4}$≤1，即a＞$\sqrt{10}$時(shí)，sinα=-$\frac{6}{{a}^{2}-4}$時(shí)，取得最大值，
即為$\sqrt{{a}^{2}+9+\frac{36}{{a}^{2}-4}}$≤2$\sqrt{7}$，
解得$\sqrt{7}$≤a≤4，即有$\sqrt{10}$＜a≤4．
綜上可得，a的范圍是（2，4]．
故答案為：（2，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．