Question

20．已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調遞減；
（2）若關于x的方程|f（x）-m|=1有四個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）比較f（1）與f（-1）的大�。�

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論x的范圍，從而得到函數(shù)的單調性；
（2）問題轉化為函數(shù)g（x）=a^x+x²-xlna-（t±1）的最小值要小于0，求出函數(shù)的單調區(qū)間，得到故x=0時，g（x）取到最小值，從而求出m的范圍；
（3）先作差，問題轉化為求函數(shù)g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，（a＞1）的單調性，得到g（a）＞0，從而求出f（1），f（-1）的大�。�

解答 解：（1）f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，故當x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
x∈（-∞，0）時，2x＜0，lna＞0，a^x-1＜0，所以f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）遞減；
（2）若關于x的方程|f（x）-m|=1有四個不同的實數(shù)根，
|f（x）-t|-1=0，得a^x=-x²+xlna+t±1結合圖象，
指數(shù)函數(shù)圖象與拋物線至多有2個交點，故兩個方程各有兩個根，
故函數(shù)g（x）=a^x+x²-xlna-（t±1）的最小值要小于0，
g′（x）=（a^x-1）lna+2x，g″（x）=a^x（lna）²+2＞0，g′（x）單調增，
當x＞0時，g′（x）＞g′（0）=0，g（x）在[0，+∞）單調增；
當x＜0時，g′（x）＜g′（0）=0，g（x）在（-∞，0]單調減．
故當x=0時，g（x）取到最小值．令g（0）=1-（t±1）＜0，
所以t＞2；
（3）f（1）-f（-1）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
令g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，（a＞1），
則g′（a）=1+$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{a}$=$\frac{{（a-1）}^{2}}{{a}^{2}}$＞0，
∴g（a）在（1，+∞）遞增，
∴g（a）＞g（1）=1-1-2ln1=0，
∴f（1）＞f（-1）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性，考查導數(shù)的應用，考查轉化思想，將問題轉化為新函數(shù)，求出新函數(shù)的最值是解題的關鍵，本題有一定的難度．