Question

20．已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
（2）若關(guān)于x的方程|f（x）-m|=1有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）比較f（1）與f（-1）的大�。�

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論x的范圍，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=a^x+x²-xlna-（t±1）的最小值要小于0，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到故x=0時(shí)，g（x）取到最小值，從而求出m的范圍；
（3）先作差，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，（a＞1）的單調(diào)性，得到g（a）＞0，從而求出f（1），f（-1）的大小．

解答 解：（1）f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，lna＞0，a^x-1＞0，所以f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
x∈（-∞，0）時(shí)，2x＜0，lna＞0，a^x-1＜0，所以f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）遞減；
（2）若關(guān)于x的方程|f（x）-m|=1有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
|f（x）-t|-1=0，得a^x=-x²+xlna+t±1結(jié)合圖象，
指數(shù)函數(shù)圖象與拋物線至多有2個(gè)交點(diǎn)，故兩個(gè)方程各有兩個(gè)根，
故函數(shù)g（x）=a^x+x²-xlna-（t±1）的最小值要小于0，
g′（x）=（a^x-1）lna+2x，g″（x）=a^x（lna）²+2＞0，g′（x）單調(diào)增，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞g′（0）=0，g（x）在[0，+∞）單調(diào)增；
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜g′（0）=0，g（x）在（-∞，0]單調(diào)減．
故當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取到最小值．令g（0）=1-（t±1）＜0，
所以t＞2；
（3）f（1）-f（-1）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
令g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，（a＞1），
則g′（a）=1+$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{a}$=$\frac{{（a-1）}^{2}}{{a}^{2}}$＞0，
∴g（a）在（1，+∞）遞增，
∴g（a）＞g（1）=1-1-2ln1=0，
∴f（1）＞f（-1）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)，求出新函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，本題有一定的難度．