Question

12．如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=BC=$\sqrt{2}$，AA$′=\sqrt{3}$，上底面A′B′C′D′的中心為O′，當(dāng)點(diǎn)E在線段CC′上從C移動(dòng)到C′時(shí)，點(diǎn)O′在平面BDE上的射影G的軌跡長度為（　�。�

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}π$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}π}{6}$

Answer 1

分析 以CA，CC′分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，可求C，O，O′坐標(biāo)，設(shè)G坐標(biāo)為（x，y），由O′G⊥OG，由斜率之積為-1，整理可知點(diǎn)O′在平面BDE上的射影G的軌跡是以F（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圓弧$\widehat{OG}$．求出∠GFO，即可由弧長公式得解．

解答 解：如圖所示，以CA，CC′分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
則有：C（0，0），O（1，0），O′（1，$\sqrt{3}$），設(shè)G（x，y），
∴由O′G⊥OG，可得：$\frac{y}{x-1}•\frac{y-\sqrt{3}}{x-1}$=-1，
整理可得：（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（x-1）²=$\frac{3}{4}$，
∴點(diǎn)O′在平面BDE上的射影G的軌跡是以F（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圓弧$\widehat{OG}$．
∵tan∠GOF=$\frac{O′C′}{OO′}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴O′G=O′O•sin∠GOF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴O′OF是等邊三角形，即∠GFO=$\frac{2π}{3}$，
∴圓弧$\widehat{OG}$的長l=$\frac{2π}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了弧長公式，斜率公式的應(yīng)用，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．