Question

11．在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．過A′，C，D三點(diǎn)的平面與BB′交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為CC′，A′D′的中點(diǎn)（如圖所示）給出以下判斷：
①E為BB′的中點(diǎn)；
②直線A′E和直線FG是異面直線；
③直線FG∥平面A′CD；
④若AD⊥CD，則平面ABF⊥平面A′CD；
⑤幾何體EBC-A′AD是棱臺．
其中正確的結(jié)論是①③④⑤．（將正確的結(jié)論的序號全填上）

Answer 1

分析 利用四棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面關(guān)系、面面關(guān)系定理對選項(xiàng)分別分析解答．

解答 解：對于①，∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，
∴平面EBC∥平面A₁D₁DA，
∴平面A₁CD與面EBC、平面A₁D₁DA的交線平行，∴EC∥A₁D
∴△EBC∽△A₁AD，
∴$\frac{BE}{B{B}_{1}}=\frac{BE}{A{A}_{1}}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴E為BB₁的中點(diǎn)；
故①正確；
對于②，因?yàn)镋，F(xiàn)都是棱的中點(diǎn)，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，
所以EF∥A'D'，所以A'E，F(xiàn)G都在平面EFD'A'中；故②錯(cuò)誤；
對于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四邊形A'EFG是平行四邊形，所以FG∥A'E，又A'E?平面A'CD中，F(xiàn)G?平面A'CD，所以直線FG∥平面A′CD正確；
對于④，連接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四點(diǎn)共面，因?yàn)锳D⊥CD，AD'在底面的射影為AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，
BF?平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正確；
對于⑤，由④得到，AB與D'F，DC交于一點(diǎn)，所以幾何體EBC-A′AD是棱臺．故⑤正確；
故答案為：①③④⑤．

點(diǎn)評 本題考查了三棱柱的性質(zhì)的運(yùn)用以及其中的線面關(guān)系和面面關(guān)系的判斷，比較綜合．