Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，n∈N^*，其前n項和為S_n．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且滿足：$\frac{{T}_{n+1}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{T}_{n}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$+16n²-8n-3．試確定b₁的值，使得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，n∈N^*，兩邊平方化簡可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，即可證明；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4n-3．于是$\frac{{T}_{n+1}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{T}_{n}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$+16n²-8n-3，化為$\frac{{T}_{n+1}}{4n+1}-\frac{{T}_{n}}{4n-3}$=1，利用等差數(shù)列的通項公式可得：$\frac{{T}_{n}}{4n-3}$=b₁+n-1，即T_n=（b₁+n-1）（4n-3），當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1，化為b_n=4b₁+8n-11，取n=1即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，n∈N^*，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是等差數(shù)列，首項為1，公差為4；
（2）解：由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+4（n-1）=4n-3．
∵$\frac{{T}_{n+1}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{T}_{n}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$+16n²-8n-3，∴（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+16n²-8n-3，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{4n+1}-\frac{{T}_{n}}{4n-3}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{T}_{n}}{4n-3}\}$是等差數(shù)列，首項為T₁，公差為1．
∴$\frac{{T}_{n}}{4n-3}$=b₁+n-1，
∴T_n=（b₁+n-1）（4n-3），
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=（b₁+n-1）（4n-3）-（b₁+n-2）（4n-7），
化為b_n=4b₁+8n-11，
若數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，則上式對于n=1時也成立，
∴b₁=4b₁-3，解得b₁=1．
∴b_n=8n-7為等差數(shù)列．
∴b₁=1．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義通項公式及其前n項和公式，考查了變形能力與計算能力，屬于中檔題．