Question

11．設(shè)數(shù)列a₁、a₂、…、a_n中的每一項(xiàng)都不為0，求證：
（1）若{a_n}成等差數(shù)列，則$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$；
（2）若$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，則{a_n}成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由{a_n}成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}ymkxtgj（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可證明；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可證明．

解答 證明：（1）∵{a_n}成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}yeayebz（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}iwtr0y1[（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）]$=$\frac{1}ylusaob（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$=$\frac{1}hl8zh3q•\frac{{a}_{n+1}-{a}_{1}}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$；
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（i）當(dāng)n=2時(shí)，∵$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{3}}$，∴a₁+a₃=2a₂，∴a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列；
（ii）假設(shè)n≤k（k≥2），{a_k+1}成等差數(shù)列．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}+\frac{1}{{a}_{k+1}{a}_{k+2}}$=$\frac{k}{{a}_{1}{a}_{k+1}}+\frac{1}{{a}_{k+1}{a}_{k+2}}$=$\frac{k+1}{{a}_{1}{a}_{k+2}}$，
化為ka_k+2+a₁=（k+1）a_k+1，
∴ka_k+2=（k+1）[a₁+kd]-a₁，
化為a_k+2=a₁+（k+2-1）d，
因此當(dāng)n=k+1時(shí)，數(shù)列{a_k+2}成等差數(shù)列．
綜上可得：?n∈N^*，（n≥3），數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．