Question

1．一般齒輪傳動(dòng)裝置中有一個(gè)主動(dòng)輪O₂和一個(gè)從動(dòng)輪O₁，用皮帶連接（假設(shè)皮帶與輪子之間不發(fā)生滑動(dòng)），直線O₁O₂是一條水平直線，主動(dòng)輪O₂的半徑是R，從動(dòng)輪O₁的半徑是r，且R=2r，主動(dòng)輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)30圈．開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)輪、主動(dòng)輪上分別標(biāo)有A₁，A₂兩個(gè)點(diǎn)（如圖所示），經(jīng)過(guò)t秒A₁，A₂兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到新位置B₁，B₂，設(shè)B₁，B₂到水平線O₁O₂的垂直高度（當(dāng)A₁，A₂運(yùn)動(dòng)到水平線O₁O₂下方時(shí)，高度是負(fù)值）分別是h₁，h₂．
（1）令f（t）=h₁+h₂，寫出f（t）的解析式及定義域；
（2）試問(wèn)經(jīng)過(guò)多少秒，f（t）第一次達(dá)到最大；經(jīng)過(guò)多少秒，f（t）第一次達(dá)到最小？

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)輪O₁和O₂的線速度相同，得出O₁的角速度是O₂的2倍，求出h₁與h₂的表達(dá)式，得出f（t）的解析式及定義域；
（2）根據(jù)f（t）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出f（t）取得最值以及對(duì)應(yīng)的t的值．

解答 解：（1）動(dòng)輪O₁和O₂的線速度相同，即v=rω，且R=2r；
∴ω₁=2ω₂，即O₁的角速度是O₂的2倍；
∴h₁=sin∠B₁O₁A₁•r=sin（ω₁t）•r=sin（2ω₂t）•r，
h₂=sin（ω₂t）•R=sin（ω₂t）•2r；
又O₂主動(dòng)輪的角速度為ω₂=$\frac{30•2π}{60}$=π（rad/s），
∴f（t）=h₁+h₂
=rsin（2ω₂t）+2rsin（ω₂t）
=rsin2πt+2rsinπt，t∈[0，+∞）；
（2）∵f（t）=rsin2πt+2rsnπt
=r（sin2πt+2sinπt）
=2rsinπt（1+cosπt），
∴f′（t）=2r[πcosπt（1+cosπt）+sinπt•（-πsinπt）]
=2πr（2cos²πt+cosπt-1），
令f′（t）=0，解得cosπt=-1，或cosπt=$\frac{1}{2}$；
∴當(dāng)cosπt=$\frac{1}{2}$，即t=2k±$\frac{1}{3}$，k∈Z時(shí)，f（t）取得最大值為r（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$r，且第一次取得最大值時(shí)t=$\frac{1}{3}$；
當(dāng)cosπt=-1，即t=2k+1，k∈Z時(shí)，f（t）取得最小值為0，且第一次取得最大值時(shí)t=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)建模的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了求三角函數(shù)的最值應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．