Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-1．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線平行于x軸，求a和f（x）在[0，2]上的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求證g（a）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（0）=0，求出a的值，從而求出f（x）在[0，2]的單調(diào)性，求出閉區(qū)間上的最小值即可；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（Ⅲ）求出f（x）的最小值即g（a），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a，
若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線平行于x軸，
∴f′（0）=1-a=0，得a=1，
當(dāng) a=1時(shí)，f（x）=e^x-x-1，
f′（x）=e^x-1≥0，x∈[0，2]，
∴f（x）在[0，2]遞增，
∴f（x）_最小值=f（0）=-1；
（Ⅱ）∵f（x）=e^x-ax-1在R上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=e^x-a≥0恒成立，
即a≤e^x，
∵e^x＞0，∴a≤0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]；
（Ⅲ）證明：a＞0，由f′（x）=e^x-a＜0，得x＜lna，
由f′（x）=e^x-a＞0，得x＞lna，
∴當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）_min=f（lna）=a-alna-1，
即g（a）=a-alna-1，
則g′（a）=-lna，
由-lna=0，得a=1，
∴g（a）≤g（1）=0，
∴g（a）≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．