Question

【題目】哈三中總務處的老師要購買學校教學用的粉筆，并且有非常明確的判斷一盒粉筆是“優(yōu)質產品”和“非優(yōu)質產品”的方法.某品牌的粉筆整箱出售，每箱共有20盒，根據(jù)以往的經驗，其中會有某些盒的粉筆為非優(yōu)質產品，其余的都為優(yōu)質產品.并且每箱含有0，1，2盒非優(yōu)質產品粉筆的概率為0.7，0.2和0.1.為了購買該品牌的粉筆，校總務主任設計了一種購買的方案：欲買一箱粉筆,隨機查看該箱的4盒粉筆，如果沒有非優(yōu)質產品，則購買，否則不購買.設“買下所查看的一箱粉筆”為事件，“箱中有件非優(yōu)質產品”為事件.

（1）求，，；

（2）隨機查看該品牌粉筆某一箱中的四盒，設為非優(yōu)質產品的盒數(shù)，求的分布列及期望；

（3）若購買100箱該品牌粉筆，如果按照主任所設計方案購買的粉筆中，箱中每盒粉筆都是優(yōu)質產品的箱數(shù)的期望比隨機購買的箱中每盒粉筆都是優(yōu)質產品的箱數(shù)的期望大10，則所設計的方案有效.討論該方案是否有效.

Answer 1

【答案】（1），，（2）見解析，（3）該方案無效.

【解析】

（1）表示在“箱中有件非優(yōu)質產品”的前提下“買下所查看的一箱粉筆”的概率,分別求得結果數(shù),再由古典概型的概率公式求解即可；

（2）由每箱含有0,1,2盒非優(yōu)質產品粉筆的概率為0.7,0.2和0.1可得可能的取值為0,1,2,由全概率公式求得概率,列得分布列,進而求得期望；

（3）由,即為方案中箱中每盒粉筆都是優(yōu)質產品的概率；隨機購買的箱中每盒粉筆都是優(yōu)質產品的概率為,進而使得期望差與10比較即可判斷.

解:（1）由已知,,

（2）可能的取值為0,1,2,

所以,,,

所以隨機變量的分布列為:

	0	1	2

所以.

（3）由（1）知,,

按照設計方案購買的一箱粉筆中,箱中每盒粉筆都是優(yōu)質產品的概率為,

因為,所以該方案無效.