Question

19．若拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，其圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，2）．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M作拋物線(xiàn)C的兩條弦MA，MB，設(shè)MA，MB所在直線(xiàn)的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)k₁，k₂變化且滿(mǎn)足k₁+k₂=-1時(shí)，證明直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=ax，代入M（2，2），可得a=2，即可求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）由題意可知直線(xiàn)AB的斜率存在且不為零，可設(shè)AB的方程為x=my+b，和（1）中求得軌跡聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和，結(jié)合k₁+k₂=-1求得直線(xiàn)方程，由線(xiàn)系方程得答案．

解答 解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=ax，代入M（2，2），可得a=2，
∴拋物線(xiàn)C的方程為y²=2x；
（2）由題意可知直線(xiàn)AB的斜率存在且不為零，可設(shè)AB的方程為x=my+b，
并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)可得y²-2my-2b=0，
從而有y₁+y₂=2m  ①，y₁y₂=-2b  ②，
又k₁+k₂=-1，即$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-2}$=-1，
∴$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}-2}$+$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}-2}$=-1
∴-（y₁+2）（y₂+2）=2（y₁+y₂+4），
展開(kāi)即得y₁y₂+4（y₁+y₂）+12=0，
將①②代入得b=4m+6，
得AB：x=my+4m+6．
故直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（6，-4）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．