Question

3．設(shè)a＞0，b＞0，則以下不等式中恒成立的是（　�。�

• A． $（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}）≥4$
• B． a³+b³≥2ab
• C． a²+b²≥2a+2b
• D． $\sqrt{|{a-b}|}$≤$|\sqrt{a}-\sqrt|$

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)依次進行判斷即可得出．

解答 解：對于A：$（a+b）×（\frac{1}{a}+\frac{1}）=1+\frac{a}+1+\frac{a}$$≥2+2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}=4$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號．故A對．
對于B：a³+b³=$（{a}^{\frac{3}{2}}）^{2}+（^{\frac{3}{2}}）^{2}$≥$2\sqrt{（ab）^{\frac{3}{2}}}$=2${a}^{\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號．故B不對．
對于C：a²+b²-2a-2b=（a-1）²+（b-1）²-2，即a²+b²≥2a+2b-2，故C不對，
對于D：$（\sqrt{|a-b|}）^{2}=a-b$，$（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}=a+b-2\sqrt{ab}$
那么：$（\sqrt{|a-b|}）^{2}-（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}$=a-b-a-b+2$\sqrt{ab}$=-2b+2$\sqrt{ab}$=2$\sqrt（\sqrt{a}-\sqrt）$≥0，∴D不對．
故選：A．

點評 利用基本不等式的性質(zhì)，作差法討論大小，考查推理能和計算能力．屬于中檔題．