Question

14．函數(shù)f（x）=x²-4（k-1）x+k+13，對任意x∈[-2，4]恒有f（x）≥0，若滿足條件的實數(shù)k構成的集合為M．
（1）求集合M；
（2）函數(shù)g（k）=k（1-|k²-1|），k∈M，求g（k）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)解析式得到對稱軸，通過分析對稱軸的范圍找到滿足題意的限制條件，由此求出k的范圍．
（2）對k的取值范圍進行分類討論，去絕對值，得到g（k）的解析式，由其單調(diào)性，得到值域．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-4（k-1）x+k+13，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸是x=2（k-1）
∵對任意x∈[-2，4]恒有f（x）≥0，
①k≤0時，f（-2）≥0，解得-1≤k≤0
②0＜k＜3時，△≤0．解得-$\frac{3}{4}$≤k≤3
∴0＜k＜3
③k≥3時，f（4）≥0，解得k≤3
∴k=3
綜上所述-1≤k≤3，即集合M={k|-1≤k≤3}
（2）①-1≤k≤1時，g（k）=k³．
∴-1≤g（k）≤1．
②1≤k≤3時，g（k）=2k-k³
g′（k）=2-3k²，在[1，3]上恒負，
即g（k）在[1，3]上單調(diào)遞減，
∴-21≤g（k）≤1．

點評 本題考查數(shù)形結(jié)合，分類討論，由單調(diào)性，得到值域．