Question

2．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E、F分別是BC，A₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求直線EF與平面ABC所成角的正弦值；
（2）設(shè)D是邊B₁C₁上的動點(diǎn)，當(dāng)直線BD與EF所成角最小時(shí)，求線段BD的長．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，EM．則可證FM⊥平面ABC，故而∠FEM為所求的角，
（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=λ$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$，求出$\overrightarrow{BD}$和$\overrightarrow{EF}$的坐標(biāo)，計(jì)算cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}$＞得出cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}$＞關(guān)于λ的函數(shù)，求出|cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}$＞|取得最大值時(shí)對應(yīng)的λ的值，得到$\overrightarrow{BD}$的坐標(biāo)，求出|$\overrightarrow{BD}$|．

解答 解：（1）取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，EM．
∵F，M分別是A₁C₁，AC的中點(diǎn)，四邊形ACC₁A₁是矩形，
∴FM∥AA₁，F(xiàn)M=AA₁=2，
∵AA₁∥平面ABC，
∴FM⊥平面ABC，
∴∠FEM是EF與平面ABC所成的角．
∵E，M分別是BC，AC的中點(diǎn)，
∴EM=$\frac{1}{2}AB$=1．∴EF=$\sqrt{F{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴sin∠FEM=$\frac{FM}{EF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直線EF與平面ABC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（2）以A為原點(diǎn)，以AB，AC，AA₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則B（2，0，0），E（1，1，0），F(xiàn)（0，1，2）．B₁（2，0，2），C₁（0，2，2）．
∴$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0），
設(shè)$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=λ$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-2λ，2λ，0），則$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{B{B}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-2λ，2λ，2）．（0≤λ≤1）
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{EF}$=2λ+4．
∴cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{λ+2}{\sqrt{5}\sqrt{2{λ}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{（\frac{3}{λ+2}-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{2}{9}}}$．
∴當(dāng)$\frac{3}{λ+2}=\frac{4}{3}$即λ=$\frac{1}{4}$時(shí)，cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}$＞取得最大值，即直線BD與EF所成角最�。�
此時(shí)，$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），∴|BD|=|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間向量的應(yīng)用，空間角的計(jì)算，屬于中檔題．