Question

6．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，則△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}，2$]
• B． （1，3]
• C． （2，3]
• D． [3，5]

Answer 1

分析 由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）²-1=3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意兩邊之和大于第三邊求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{ab}$，
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴$\frac{1+^{2}-{c}^{2}}$+c=2b，化簡(jiǎn)可得（b+c）²-1=3bc．
∵bc≤$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，
∴（b+c）²-1≤3×$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，解得b+c≤2（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取等號(hào)）．
故a+b+c≤3．
再由任意兩邊之和大于第三邊可得 b+c＞a=1，故有 a+b+c＞2，
故△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是（2，3]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，三角形任意兩邊之和大于第三邊，屬于中檔題．