Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π，f（x）≤|f（$\frac{π}{3}$）|，對一切x∈R恒成立，且f（π）＞f（0）設(shè)x₁、x₂是集合{x|f（x）=0}中任意兩個元素，且丨x₁-x₂丨的最小值為2π，則f（x）=（　�。�

• A． sin（2x+$\frac{π}{3}$）
• B． sin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$）
• C． sin（2π-$\frac{2π}{3}$）
• D． sin（$\frac{x}{2}-\frac{2π}{3}$）

Answer 1

分析 首先利用x₁、x₂是集合{x|f（x）=0}中任意兩個元素，且丨x₁-x₂丨的最小值為2π，確定函數(shù)的周期，再利用函數(shù)的恒成立問題，進(jìn)一步求出∅的值，再通過驗(yàn)證確定結(jié)果，最后求出函數(shù)的解析式．

解答 解：設(shè)x₁、x₂是集合{x|f（x）=0}中任意兩個元素，且丨x₁-x₂丨的最小值為2π，
所以函數(shù)f（x）的周期為4π，
所以利用$T=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=$\frac{1}{2}$，
所以f（x）=$sin（\frac{x}{2}+∅）$
所以：$\left|f（\frac{π}{3}）\right|=|sin（\frac{π}{6}+∅）|$=1，
則：$\frac{π}{6}+∅=kπ+\frac{π}{2}$，
所以：$∅=kπ+\frac{π}{3}$，
又|φ|＜π，
所以：$∅=\frac{π}{3}或-\frac{2π}{3}$
當(dāng)$∅=\frac{π}{3}時$，$f（x）=sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$
所以：f（π）=$\frac{1}{2}$，f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不滿足題意，
所以：當(dāng)$∅=-\frac{2π}{3}$，代入關(guān)系式滿足題意．
所以函數(shù)的關(guān)系式為：$f（x）=sin（\frac{x}{2}-\frac{2π}{3}）$，
故選：D

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：利用函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的關(guān)系式，主要考察函數(shù)的周期和最值得應(yīng)用，另一方面還利用了相關(guān)的運(yùn)算．