Question

20．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\frac{2x-3}{x+1}$，則不等式f（lnx）＜l的解集為（$\frac{1}{{e}^{4}}$，e⁴）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴不等式f（lnx）＜l等價(jià)為f（|lnx|）＜l，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\frac{2x-3}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-5}{x+1}$=2-$\frac{5}{x+1}$，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
由f（x）=$\frac{2x-3}{x+1}$=1，得x=4，即f（4）=1，
則不等式f（|lnx|）＜l等價(jià)為f（|lnx|）＜f（4），
則|lnx|＜4，
即-4＜lnx＜4，
即$\frac{1}{{e}^{4}}$＜x＜e⁴，
即不等式的解集為（$\frac{1}{{e}^{4}}$，e⁴），
故答案為：（$\frac{1}{{e}^{4}}$，e⁴）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．